Józef Śliwiński urodził się w Zbarażu na Ukrainie w ówczesnym województwie tarnopolskim dnia 18 listopada 1924 roku z rodziców Ignacego i Marii z domu Solska. Szkołę Podstawową ukończył w 1937 roku w rodzinnym mieście. Następnie przez dwa lata uczęszczał do gimnazjum w Małym Seminarium Misyjnym w Niepokalanowie. Pierwsze lata okupacji hitlerowskiej przebywał w domu rodzinnym. Dnia 28 sierpnia 1942 roku w Niepokalanowie, przyjmując imię zakonne Klemens, rozpoczął nowicjat pod kierunkiem o. Zbysława Niebrzydowskiego. Pierwsze śluby zakonne złożył w Niepokalanowie dnia 30 sierpnia 1943 roku na ręce Prowincjała o. Maurycego Madzurka. W latach 1943-1944 kontynuował naukę w IV klasie gimnazjum, zaś w okresie od 1944-1946 naukę w liceum, zdobywając świadectwo dojrzałości. W latach 1946-1948 studiował filozofię w Gnieźnie w seminarium zakonnym. Wieczystą profesję zakonną złożył w Gnieźnie dnia 4 października 1947 roku na ręce gwardiana klasztoru o. Kornelego Czupryka. W latach 1948-1952 odbywał studia teologiczne w Krakowie. Święcenia prezbiteratu przyjął pod koniec studiów teologicznych w Krakowie dnia 21 grudnia 1951 roku z rąk Ks. Bpa Stanisława Rosponda.
Po zakończeniu studiów teologicznych w latach 1952-1954 przebywał w klasztorze w Gnieźnie, gdzie sprawował posługę katechety dzieci pierwszokomunijnych, spowiednika oraz kancelalisty parafialnego. W latach 1954-1958 pracował w Koszalinie jako wikariusz parafii, katecheta, duszpasterz dzieci i młodzieży, spowiednik oraz duszpasterz głuchoniemych. Od 1958 do 1959 roku pełnił urząd gwardiana klasztoru w Radziejowie, będąc także rektorem kościoła, katechetą, rekolekcjonistą oraz spowiednikiem sióstr zakonnych. W latach 1959-1962 był gwardianem klasztoru i rektorem kościoła w Łodzi. przy ul. Rzgowskiej, jednocześnie sprawując posługę spowiednika w Wyższym Seminarium Duchownym, rekolekcjonisty, spowiednika sióstr zakonnych oraz przeprowadzając comiesięczne dni skupienia dla nauczycieli. W 1962 roku powierzono mu urzędy asystenta prowincjalnego, sekretarza i ekonoma Prowincji, które spełniał do 1965 roku. O. Klemens w tym czasie pełnił posługę spowiednika sióstr zakonnych. W okresie od 1964-1969 roku podjął studia na Wydziale Prawa Kanonicznego Akademii Teologii Katolickiej w Warszawie. W latach 1965-1968 ponownie pełnił urząd gwardiana klasztoru i rektora kościoła w Łodzi przy ul. Rzgowskiej oraz sprawując posługę duszpasterza niewidomych miasta Łodzi i duszpasterza pielęgniarek (1966-1968). W okresie od 1968-1971 był gwardianem klasztoru w Łodzi-Łagiewnikach. Od 1971 r. O. Klemens pozostaje w Łodzi, pełniąc powierzone mu obowiązki diecezjalne jak: Kierownik Wydziału do Spraw Zakonnych i Stowarzyszeń Kościelnych, Diecezjalny Referent Sanktuariów Maryjnych, Członek Diecezjalnej Komisji Charytatywnej, Wizytator Domów Zakonnych w Diecezji Łódzkiej, Członek Rady Kapłańskiej Diecezji, Ojciec Duchowny Dekanatu Łódź-Południe. W latach 1970-1975 był członkiem Komisji Episkopatu Polski do spraw Rodzin.
Od roku 1973-1977 kontynuował studia na Wydziale Prawa Kanonicznego na Akademii Teologii Katolickiej w Warszawie, zdobywając dnia 2 lipca 1975 roku tytuł Magistra Prawa Kanonicznego na podstawie pracy „Uprawnienia biskupów w zakresie liturgii w świetle kościelnego ustawodawstwa posoborowego”, a następnie dnia 30 czerwca 1977 roku tytuł Doktora Nauk Prawnych na podstawie rozprawy doktorskiej „Odnowa kultu eucharystycznego w świetle posoborowego prawa kanonicznego” napisanej pod kierunkiem ks. prof. dra hab. Tadeusza Pawluka.
Uchwałą Kapituły Prowincjalnej Zwyczajnej z dnia 9 czerwca 1977 roku obradującej w Łodzi-Łagiewnikach O. Klemens został powołany na urzędy asystenta prowincjalnego i gwardiana klasztoru w Niepokalanowie, które pełnił do 1980 r. W latach 1977-1983 był członkiem Komisji Maryjnej Episkopatu Polski.
W tym czasie miał także powierzane obowiązki profesora prawa kanonicznego w Teologicznym Studium Braci w Niepokalanowie (1977-1980) oraz wykładowcy Prawa Kanonicznego w Wyższym Seminarium Duchownym w Łodzi-Łagiewnikach (1978-1981).
Kapituła Prowincjalna obradująca w Łodzi-Łagiewnikach uchwałą z dnia 23 czerwca 1980 r. w Łodzi-Łagiewnikach ponownie wybrała O. Klemensa na asystenta prowincjalnego, powierzając mu zarazem urząd wikariusza prowincji, który pełnił do 1983 roku. W latach 1981-1983 Konferencja Episkopatu Polski na wniosek Przewodniczącego Episkopatu do spraw Rodzin powierzyła O. Klemensowi obowiązek Krajowego Duszpasterza Rodzin.
W czasie trwania w Polsce stanu wojennego od 24 lutego do 22 sierpnia 1982 roku jako przedstawiciel Sekretarza Episkopatu Polski Ks. Bpa Bronisława Dąbrowskiego odwiedzał ośrodki odosobnienia dla internowanych, sporządzając sprawozdania z poszczególnych interwencji w zakładach karnych i wykazując szczególną troskę duszpasterską o uwięzionych.
Jako Wikariuszowi Prowincji, po niespodziewanej śmierci Prowincjała o. Stanisława Frejlicha, O. Klemensowi przypadł zaszczyt z pokornym synowskim uczuciem miłości i przywiązania powitania podczas wizyty w Niepokalanowie Ojca Świętego Jana Pawła II dnia 18 czerwca 1983 roku.
W latach 1983-1987 O. Klemens przebywał w Sacro Convento w Asyżu, pełniąc obowiązki asystenta kustodialnego Świętego Konwentu Asyskiego, spowiednika, duszpasterza i przewodnika pielgrzymów języka polskiego w Bazylice Św. Franciszka.
Od 15 marca 1987 roku do 30 września 2002 roku pełnił posługę Penitencjarza Apostolskiego w Bazylice św. Piotra w Watykanie, zaś w latach 1988-1997 przez kolejne trzy kadencje pełnił urząd Rektora Kolegium Penitencjarzy Watykańskich. Od 1989 do czerwca 2002 roku O. Klemensowi Stolica Apostolska powierzyła także obowiązki Konsultora Kongregacji do spraw Świętych oraz Komisariusza w Kongregacji do spraw Kultu Bożego i Sakramentów.
Po zakończeniu posługi spowiednika w Bazylice św. Piotra w Watykanie O. Klemens z dniem 15 listopada 2002 roku zamieszkał na stałe w klasztorze Św. Antoniego z Padwy w Łodzi-Łagiewnikach, pełniąc posługę spowiednika kleryków naszego Wyższego Seminarium Duchownego oraz przez wprowadzony z własnej inicjatywy, a przede wszystkim z potrzeby swego kapłańskiego serca, stały dyżur spowiedzi w Sanktuarium św. Antoniego z Padwy i bł. Rafała Chylińskiego, który gorliwie i z wielkim oddaniem sprawował do czasu, na który mu pozwalały siły dane przez Boga.
O. Klemens Józef Śliwiński w naszej pamięci pozostaje jako człowiek wielkiej kultury osobistej, zawsze taktowny, sumienny zakonnik i duszpasterz, gorliwy i cierpliwy spowiednik pragnący jednać z Bogiem i prowadzić do pełni życia w Jezusie Chrystusie przez posługę Kościoła, którą sam wiernie sprawował i do której wierności zachęcał nie tylko słowem ale przede wszystkim własnym przykładem. Niech oglądanie Boga w krainie życia wiecznego będzie dla niego nagrodą.
Uroczystości pogrzebowe Ś.P. Ojca Klemensa Józefa Śliwińskiego odbędą się w poniedziałek dnia 26 listopada w Sanktuarium św. Antoniego z Padwy i bł. Rafała Chylińskiego w Łodzi-Łagiewnikach o godzinie 12.00, po czym trumna z ciałem Zmarłego zostanie złożona na miejscowym cmentarzu.