Ks. Drążek urodził się w Mogielnicy k. Rzeszowa w 1934 r. Po studiach filozoficznych w Krakowie i teologicznych w Warszawie święcenia kapłańskie otrzymał w 1961 r. Doktoryzował się na Katolickim Uniwersytecie Lubelskim (1972), a habilitację uzyskał w Papieskiej Akademii Teologicznej (1991). Był profesorem nadzwyczajnym Wyższej Szkoły Filozoficzno-Pedagogicznej Ignatianum. Przez 17 lat prowadził w Krakowie duszpasterstwo akademickie WAJ. W latach 1980-83 pracował w redakcji centralnej Radia Watykańskiego, po czym przez sześć lat był przełożonym domu zakonnego na krakowskich Przegorzałach. Polskim wydaniem L’Osservatore Romano kierował od 1991 r. do marca roku 2007, kiedy to doznał wylewu krwi do mózgu. Nawrót tej choroby spowodował zgon.
Ks. Drążka pamięta szczególnie dobrze polska redakcja L’Osservatore Romano. Obecny redaktor naczelny edycji jest wychowankiem ks. Drążka jeszcze z czasów duszpasterstwa akademickiego. Ks. Władysław Gryzło SJ podkreśla, że gdy odchodzi tak bliski współbrat zakonny, nie zwraca się uwagi na wymierne jego dokonania, ale na to, jakim był człowiekiem. „On miał wpływ na moje życie zakonne, u którego początku, prawie 40 lat temu, stał. Zapamiętuję go jako człowieka bardzo szczerego, otwartego, dobrze towarzyszącego temu, co Bóg dokonywał w ludzkim sercu, wiernego do końca. Zawsze powracał właśnie do tych chwil, kiedy Bóg nas razem jakoś prowadził” – wyznał Radiu Watykańskiemu ks. Gryzło. Ewa Dudek pamięta przede wszystkim jego uśmiech. „Kiedy było trudno, bo musieliśmy pracować czasem w trudnych warunkach – wspomina – on w jakiś sposób zawsze był z nami”. Z kolei Barbara Piotrowska zapamiętała go jako człowieka ciepłego i delikatnego. Natomiast Dorota Swat podkreśla, że ks. Drążek był przede wszystkim dobrym człowiekiem, który „bardzo kochał swoją pracę i Ojca Świętego”.